Winkelfunktionen

Wie berechne ich die Seiten eines Dreiecks?

Trigonometrie – die Winkelfunktionen

Angenommen, wir verfügen über ein rechtwinkliges Dreiecks – sprich, ein Dreieck von dem einer der drei Winkel 90° beträgt – und wollen seine Winkel und Seitenlängen wissen. Wir könnten sie abmessen, aber wir wüssten nicht, ob unser Messergebnis korrekt ist, weil wir keine Referenz haben. Also müssen wir sie berechnen – mit Hilfe der Winkelfunktionen.

1. Cosinus

Stellen wir uns vor, wir stecken einen geraden Stab von einem Meter Länge schräg in die Erde und die Sonne scheint von oben darauf. Wenn angenommen werden kann, dass die Sonne im Zenit steht (also im 90° Winkel zur Erde), dann wirft der Stab einen Schatten auf den Boden, dessen Länge geringer ist, als die des Stabs. Die Länge des Schattens entspricht dem Cosinus und ist abhängig davon, in welchem Winkel der Stab im Boden steckt. Nennen wir diesen Winkel α so heißt die Schattenlänge cos α.

In unserem Beispiel beträgt α 57°. Der Cosinus von α ist (etwa) 0,54. Dies lässt sich mit dem Kopf schwer berechnen, aber heutzutage beherrscht jeder Taschenrechner die Winkelfunktionen.

2. Sinus

Stellen wir uns nun vor, wir würden den Stab genau von der Seite beleuchten und seinen Schatten auf eine Wand projizieren. Die Länge dieses Schattens wäre (anhand des Winkels α) der Sinus bzw. sin α.

Unser Beispiel mit α = 57° ergibt einen Sinus von ~0,84.

3. Sinus und Cosinus im rechtwinkeligen Dreieck

Mit Sinus und Cosinus lassen sich also die beiden Seiten des sich bildenden Dreiecks berechnen. In unserem Beispiel beträgt die Länge des Stabs 1 m. Allerdings spielt das für Sinus und Cosinus keine Rolle, diese sind nicht von der Länge des Stabs abhängig, sondern von seinem Winkel α im Boden. Was uns Sinus und Cosinus angeben, sind nicht die tatsächlichen Seitenlängen, sondern die Faktoren, um die die Seiten kürzer sind, als die Länge des Stabs.
Für mehr Übersichtlichkeit werden die Seiten unseres Dreiecks benannt:

Die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks wird als Hypotenuse bezeichnet. Die dem von uns betrachteten Winkel anstehende Seite ist seine Ankathete und die gegenüberliegende Seite seine Gegenkathete. Die Seiten des Dreiecks stehen über diesen Winkel in Bezug zueinander und diese Beziehungen werden von folgenden Formeln beschrieben:

Mit Hilfe dieser Formeln lassen sich die verschiedenen Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks schnell ausrechnen, wenn einer der nicht-rechten Winkel und eine Seite bekannt sind.

4. Tangens und Cotangens

Auch Sinus und Cosinus selbst stehen in Bezug zueinander. Deren Verhältnis wird als der Tangens bzw. das umgekehrte Verhältnis als Cotangens bezeichnet.

Da Sinus und Cosinus die Verkürzungsfaktoren von Ankathete und Gegenkathete abbilden, gilt folglich:

5. Inverse Winkelfunktionen

Sollte von einem Winkel nur der Wert einer seiner Winkelfunktionen bekannt sein, kann man mittels der inversen Winkelfunktion (auch „Umkehrfunktion“) den entsprechenden Winkel erhalten. Die inverse Funktion des Sinus ist der Arcus Sinus (auch arcsin, sin1, inv sin). Er gibt den Wert eines Winkels α wieder, dessen Sinus wir kennen. Allerdings sei dabei zu beachten, dass es für jeden Sinus-Wert zwei mögliche Winkel gibt (siehe die entsprechenden Zeigerdiagramme). Diese beiden Winkel sind Supplementärwinkel, d.h. sie ergänzen sich auf 180°. Wir müssen selbst definieren, welcher der gewonnen Winkel unser gesuchter ist.

Diese Vorgehensweise gilt analog für die anderen genannten Winkelfunktionen (Arcus Cosinus, Arcus Tangens und Arcus Cotangens).